Chance, aus jeder Gruppe eine zu eröffnen
Ihre Daten
Die Gruppen müssen aus voneinander verschiedenen Karten bestehen. Eine Karte, die zu zweien zugleich gehört, zerstört die Rechnung, weil sie beide Aufgaben mit einem einzigen Platz erfüllen würde.
Ergebnisse
Chance, mindestens eine Karte aus jeder Gruppe zu eröffnen
—
| Was herauskommt, wenn man die Gruppen multipliziert, als wären sie unabhängig | — |
| Um wie viel das zu hoch liegt | — |
| Chance auf mindestens eine aus der ersten Gruppe allein | — |
| Dasselbe für die zweite Gruppe | — |
| Chance auf mindestens eine aus irgendeiner der Gruppen | — |
Was geschieht, wenn die zweite Gruppe wächst
| Karten der zweiten Gruppe | Wirkliche Chance | Was das Multiplizieren sagen würde |
|---|
Der Abstand zwischen den beiden Spalten ist am größten, wenn beide Gruppen mittelgroß sind und beide hart um dieselben wenigen Plätze kämpfen. Geprüft über jedes Paar von Gruppengrößen, das in ein Deck aus vierzig Karten mit einer Hand aus fünf passt: Das Multiplizieren lag kein einziges Mal unter dem wahren Wert, und im schlimmsten Fall lag es drei Punkte darüber.
Für die Chance, irgendetwas aus einer der Gruppen zu eröffnen, statt je eine aus jeder, ist das Addieren der einzelnen Chancen noch schlimmer. Bei zwölf Karten in der einen Gruppe und zehn in der anderen kommt mehr als eineinhalb heraus, was überhaupt keine Wahrscheinlichkeit ist, und die ehrliche Zahl steht in der Tabelle.
Diese Seite zählt Gruppen, nicht Kopien. Wenn Sie wissen wollen, wie wahrscheinlich es ist, zwei oder drei Exemplare einer bestimmten Karte zu ziehen, ist das eine andere Frage mit einer eigenen Seite, und diese hier würde sie schlecht beantworten.
Warum nicht einfach die beiden Chancen multiplizieren?
Weil die Gruppen aus demselben Deck kommen und um dieselben Plätze auf Ihrer Hand konkurrieren. Jede Karte der einen Gruppe, die auftaucht, ist ein Platz, den die andere nicht nutzen kann; die beiden Ereignisse ziehen also gegeneinander, statt unabhängig zu sein.
Deshalb fällt das Multiplizieren jedes Mal zu hoch aus. Bei zwölf Karten in der einen Gruppe und zehn in der anderen, in einem Deck aus vierzig Karten mit einer Hand aus fünf, ist der wahre Wert 64,71 Prozent, das Multiplizieren ergibt 66,64. Über jedes Paar von Gruppengrößen geprüft, das hineinpasst: Das Multiplizieren lag kein einziges Mal unter der Wahrheit, im schlimmsten Fall drei Punkte darüber.
Wann ist der Fehler am größten?
Wenn beide Gruppen mittelgroß sind. Zwei Gruppen zu je sieben in einem Deck aus vierzig ergeben den größten Abstand, denn dort kämpfen sie am härtesten um dieselben fünf Plätze, ohne dass eine für sich fast sicher wäre.
Ist eine Gruppe sehr groß, schrumpft der Abstand, denn eine Karte, die fast sicher erscheint, konkurriert in keinem sinnvollen Sinn mehr. Deshalb überlebt der Fehler: Er wirkt genau in den Fällen harmlos, an denen man ihn prüft.
Und die Chance, irgendeine der Gruppen zu eröffnen, statt je eine aus jeder?
Das ist eine andere Zahl, und die Seite zeigt sie ebenfalls. Die einzelnen Chancen zu addieren ist dort aus verwandtem Grund falsch: Bei zwölf und zehn Karten ergibt die Summe mehr als eineinhalb, was überhaupt keine Wahrscheinlichkeit ist.
Die richtige Antwort ist, die Gruppen als einen größeren Stapel zu behandeln und nach der Chance zu fragen, alles zu verfehlen, genau das liefert die Tabelle.
Kann eine Karte zu zwei Gruppen zugleich gehören?
In dieser Rechnung nicht. Eine Karte, die beide Aufgaben erfüllt, würde zwei Rollen mit einem einzigen Platz besetzen, und die Arithmetik hier nimmt an, dass jede Karte höchstens zu einer Gruppe gehört.
Wenn Sie solche Karten haben, ist es ehrlich, sie in derjenigen Gruppe zu zählen, für die Sie sie wirklich brauchen, und zu wissen, dass das Ergebnis dann eine Untergrenze ist und nicht der genaue Wert.
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